Суть вариационного алгоритма усвоения это нахождение (идентификация) таких входных параметров модели, при которых её решение наилучшим образом соответствует данным измерений. В качестве входного параметра при решении задачи усвоения может рассматривается как начальное поле, так скорость и коэффициент диффузии. Рассмотрим задачу идентификации начальных данных по данным измерений.
 

Для лучшего понимания ВАУ рассмотрим его для одномерного уравнения переноса пассивной примеси:

(1)

Пусть имеются данные измерений на конечный момент времени . Задача усвоения таких данных измерений состоит в минимизации квадратичного функционала невязок прогноза:

(2)

Минимизация такого функционала с ограничениями (связями) (1) эквивалентна минимизации следующего функционала:

(3)

где - множитель Лагранжа.

(4)

решение модели варьируется только по начальным данным.

Интегрируя по частям с учетом краевых условий и выбирая пока ещё произвольные множители Лагранжа как решение следующей сопряженной задачи:

(5)

Получаем простое выражение для вариации функционала:

(6)

Задача (5) является формально сопряженной к задаче (1) в смысле тождества Лагранжа, т.е. оператор сопряженной задачи является сопряженным к оператору основной задачи.

Исходя из определения вариации функционала:

Получаем достаточно простое выражение для градиента функционала по начальным данным:

(7)

Этот градиент оказывается решением построенной нами сопряженной задачи. Следующее приближение начальных данных получим путем итерационного спуска в направлении этого градиента функционала по формуле:

(8)

где n - номер итерации,

- итерационный параметр

В процессе итераций мы инициализируем (восстанавливаем) такое начальное поле при котором решение нашей модели хорошо соответствует данным измерений.

далее>>